Dispensa matematica finanziaria pdf

Le equazioni logaritmiche. La Goniometria. Le Disequazioni esponenziali. Le Disequazioni logaritmiche. Gli Esponenziali. I Logaritmi. Il Punto e la Retta. La Parabola. La Circonferenza. Il Calcolo dei Limiti di Funzioni.

La Derivata di Funzione ad una Variabile. Gli Integrali indefiniti. Gli Integrali definiti Propri. Gli Integrali definiti Impropri. In generale, nel RIS due tassi periodali in relativo ad n1 simo di anno ed 1 im relativo ad m simo di anno sono equivalenti se e solo se soddisfano la relazione.

Nota: La 1. In particolare, se vogliamo determinare il tasso giornaliero ig , equivalente al tasso annuo i, abbiamo. Si puo usare anche lanno civile, pensato costituito da giorni. Generalizzando la 1.

Quale il tasso annuo ad esso equivalente nel RIS? Da 78 1. Invertendo la 1. Si indica con tale denominazione il regime di attualizzazione coniugato al regime di capitalizzazione RIS rappresentato dalla funzione fattore di sconto. Il valore attuale dellimporto M disponibile in t e dato da M v t :. Nel regime finanziario ad interessi semplici, come si e visto, la caratteristica principale e che investendo un capitale C oggi, gli interessi maturati sono proporzionali al capitale C stesso ed al tempo t:.

Possiamo richiedere cioe che C t rappresenti il valore oggi attualizzazione di un capitale M disponibile in t, e che lo sconto su M sia proporzionale al capitale finale M ed al tempo t:.

Scriviamo quindi. Il significato di d si vede dalla 1. Indicando con i il tasso eettivo di interesse per unita di tempo dalla 1. Definizione: Due tassi di sconto riferiti a diverse unita di tempo si dicono equivalenti quando applicati allo stesso montante per lo stesso periodo for- niscono lo stesso sconto e, quindi, lo stesso valore ossia individuano la stessa legge di sconto.

Al contrario del caso dellinteresse semplice la capitalizzazione intermedia degli interessi e svantaggiosa per linvestitore. Si puo pensare, quindi, ad un regime in cui tale operazione di disinvestimento e reinvestimento avvenga istantaneamente, definiamo cos il Regime ad Interesse Composto RIC.

Possiamo definire lespressione che deve avere il fattore di montante in tale regime, ragionando come segue anche se in modo improprio. Sia i il tasso eettivo nellunita di tempo. Se generalizziamo ad ogni tempo t 0 e non solo a scadenze intere la relazione appena trovata abbiamo:. Riassumendo, il regime finanziario di capitalizzazione a interesse composto, o regime esponenziale, e caratterizzato da un fattore di montante esponenziale:.

In termini di fattore a due tempi si ha:. Relazioni per la capitalizzazione nel RIC:. Ossia: 1d. Relazione di equivalenza fra tassi di sconto periodali in RIC: Che relazione esiste fra il tasso di sconto annuo d ed il tasso di sconto periodale dm in RIC?

Dalla relazione generale 1. Si noti che la relazione sui tassi di sconto equivalenti si puo anche ottenere partendo dalla relazione gia trovata sui tassi di interesse equivalenti:. Apri il menu di navigazione. Chiudi suggerimenti Cerca Cerca. Impostazioni utente.

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Esplora Podcast Tutti i podcast. Esplora Documenti. Dispensa Matematica Finanziaria. Caricato da domenico. Condividi questo documento Condividi o incorpora il documento Opzioni di condivisione Condividi su Facebook, apre una nuova finestra Facebook. Hai trovato utile questo documento? Il tasso d rappresenta il tasso di sconto commerciale, e anche in questo caso assegnando ad esso un particolare valore si individuano la legge di interesse semplice anticipato f t e la legge di sconto commerciale t a quel determinato tasso di sconto.

Si ha in questo caso: C 1 dt e poich il tasso d che compare nella formula un tasso di sconto, mentre quello di cui si dispone un tasso di interesse, occorre innanzitutto determinare d tenendo presente che vale la relazione: i 0.

Se le somme da valutare congiuntamente sono tutte dello stesso segno, in particolare, si dice che costituiscono una rendita, e le singole somme si dicono rate o termini della rendita. Il valore attuale di una rendita si ottiene sommando i valori attuali delle sue rate, calcolati con fattori di sconto ts che dipendono dalle scadenze delle singole rate:. Pi in generale, possibile denire il valore di una rendita ad una qualsiasi data z compresa tra 0 e tn come la somma dei montanti delle rate che scadono prima di z e dei valori attuali delle rate che scadono dopo z :.

In alcuni casi i calcoli relativi alle rendite possono essere notevolmente semplicati; questo accade in particolare quando le rate sono tutte uguali, le loro scadenze sono periodiche ad esempio annuali e il regime nanziario utilizzato quello della capitalizzazione composta. In questo contesto possibile considerare innanzitutto una rendita unitaria con pagamenti che avvengono alla ne di ogni anno per n anni.

Si parla allora di rendita annua posticipata unitaria, e il montante alla ne dellultimo anno, calcolato a tasso annuo di interesse i, si indica con snei che si legge s posticipato, gurato n a tasso i ed dato da:. Per la stessa rendita, il valore attuale allinizio del primo anno, calcolato a tasso annuo di interesse i, si indica con anei che si legge a posticipato, gurato n a tasso i ed dato da:.

Nel caso di rendita anticipata per cui i pagamenti vengono eettuati allinizio anzich alla ne di ogni anno il montante risulta calcolato un anno dopo il pagamento.. Capitolo 1. Nel caso di rate non unitarie ma di ammontare costante pari a R, basta moltiplicare..

Un ultimo caso quello delle rendite frazionate, nelle quali cio le rate sono disponibili in corrispondenza di frazioni di anno mese, bimestre, trimestre In questa situazione possibile continuare ad utilizzare le formule relative alle rendite annue, tenendo per presente che il tempo va espresso in frazioni di anno ed necessario usare il corrispondente tasso periodale.

In questo caso si ha una rendita mensile quindi frazionata , posticipata, allora possibile continuare ad utilizzare le formule viste per le rendite annue esprimendo per il tempo in mesi ed utilizzando il corrispondente tasso periodale, cio il tasso mensile. In questo caso si ha una rendita trimestrale quindi frazionata , anticipata, allora necessario esprimere sia il tempo sia il tasso in frazioni di anno in particolare trimestri.

Calcolo nanziario Risolvere i seguenti problemi di capitalizzazione o attualizzazione:. Determinare il pi conveniente tra i due impieghi. Determinare quali tassi j rendono pi conveniente il primo impiego. Calcolare la somma ricevuta se si accetta di scontare la cambiale presso listituto di credito. Risolvere i seguenti problemi legati ai versamenti di pi somme di denaro e alle rendite: 19 Unoperazione nanziaria consiste nellimpiegare oggi la somma di e tra 6 mesi la somma di Determinare il montante in capitalizzazione composta disponibile tra un anno se il tasso di interesse mensile eettivo pari all1.

Determinare limporto R delle rate. Dopo avere introdotto, nel Capitolo precedente, i concetti di base del calcolo nanziario, possibile considerare adesso largomento costituito dalle scelte nanziarie, che assumono particolare importanza in quanto molto spesso ci si trova ad arontare, in pratica, problemi di scelta tra due o pi operazioni nanziarie.

Si tratta di solito di scegliere la pi redditizia tra diverse operazioni di investimento, oppure la meno costosa tra diverse operazioni di nanziamento, o pi in generale la migliore combinazione di investimenti e nanziamenti. Il punto di partenza dellanalisi costituito da unoperazione nanziaria, che pu essere descritta da una successione di ussi di cassa: f1 , f2 , Per questa operazione. Il DCF pu essere utilizzato in due modi, dando cos origine a due diversi criteri impiegati per la scelta tra operazioni nanziarie.

Un primo impiego quello che consiste nel calcolare il DCF di unoperazione nanziaria ad un certo tasso i, cio G i. In base al criterio del V AN , per eettuare la scelta tra due o pi operazioni nanziarie suciente confrontare i loro V AN , e loperazione migliore risulta in ogni caso sia per gli investimenti sia per i nanziamenti quella con il V AN pi elevato.

Un tasso x che annulla il DCF di unoperazione nanziaria prende il nome di Tasso Interno di Rendimento T IR delloperazione stessa, e pu essere interpretato come misura del rendimento di un investimento o del costo di un nanziamento. Gracamente, rappresentando in un diagramma cartesiano la funzione G x relativa ad una certa operazione nanziaria, il T IR individuato dallintersezione del graco della funzione con lasse delle ascisse, cio si ha: In base al criterio del T IR, per eettuare la scelta tra due o pi operazioni nanziarie aventi la stessa natura tutte di investimento oppure tutte di nanziamento.

In realt, il criterio del T IR si fonda su di unipotesi estremente forte e irrealistica, quella che i reinvestimenti o nanziamenti parziali che una certa operazione comporta siano fatti proprio allo stesso tasso interno delloperazione.

In aggiunta, vi sono operazioni nanziarie per le quali il tasso interno non esiste ed operazioni nanziarie per le quali si ha una molteplicit di tassi interni, cio:.

In denitiva, il criterio basato sul V AN eventualmente modicato e reso pi realistico attraverso una sua generalizzazione, allo scopo di tenere conto della variabilit nel tempo dei tassi di interesse risulta quello pi adatto per eettuare scelte tra diverse operazioni nanziarie. Esempio 2. In questo caso, quindi, il criterio del T IR non applicabile, mentre il criterio del V AN pu essere utilizzato, e loperazione nanziaria B quella preferibile.

Alcuni altri indicatori possono poi essere introdotti con riferimento ai titoli, e verranno considerati nel prossimo Capitolo. Il T AE rappresenta quindi il tasso interno su base annua delloperazione, senza tenere conto di eventuali oneri accessori. Si possono poi introdurre tipi diversi di spese accessorie nel contratto di nanziamento, le quali a seconda dei casi possono essere portate in riduzione della somma erogata inizialmente oppure in aumento delle singole rate.

Il T AEG rappresenta quindi il tasso interno su base annua delloperazione, tenendo conto degli oneri accessori ad essa collegati. Va peraltro osservato che, essendo di fatto dei tassi interni, il T AE e il T AEG sono soggetti ai limiti e alle critiche che sono stati brevemente illustrati nella Sezione precedente con riferimento a tale tipo di parametro.

Determinare T AE e T AEG delloperazione nellipotesi che la somma prestata venga ridotta delle spese di istruzione della pratica, pari a I ussi generati dalloperazione, senza tenere conto delle spese accessorie, sono:. Determinare T AE e T AEG delloperazione nellipotesi che lammontare prestato venga ridotto delle spese di istruzione della pratica, pari a 50 , e nellipotesi alternativa in cui, anzich essere sottratte dalla somma data in prestito, queste spese vengano suddivise in parti uguali e portate in aumento delle due rate semestrali.

I ussi generati dalloperazione tenendo conto delle spese accessorie, nel caso in cui queste vengano portate in riduzione dellammontare prestato, sono invece:. Determinare T AE e T AEG delloperazione nellipotesi in cui le spese di istruzione della pratica di nanziamento, pari a , vengano pagate al momento della concessione del nanziamento stesso. Risolvere i seguenti problemi relativi ai criteri di scelta tra operazioni nanziarie: 1 Unoperazione nanziaria comporta unentrata di cassa immediata di , unuscita di tra 1 anno e una nuova entrata di tra 2 anni.

Determinare il suo T IR. Quale delle due operazioni risulta preferibile? Loperazione A origina unuscita di cassa immediata di e unentrata di tra 1 anno, mentre loperazione B origina unuscita di cassa immediata di e unentrata di tra 1 anno. Determinare loperazione scelta dal soggetto nellipotesi che egli valuti utilizzando il criterio del T IR. Loperazione A origina unuscita di cassa immediata di e due entrate, rispettivamente di dopo 1 anno e di dopo 3 anni, mentre loperazione B origina unuscita di cassa immediata di , unulteriore uscita di dopo 2 anni e due entrate, rispettivamente di dopo 1 anno e di dopo 3 anni.

Loperazione A origina unentrata di cassa immediata di e unulteriore entrata di dopo 1 anno, mentre loperazione B origina unentrata di cassa di dopo 1 anno e unulteriore entrata di dopo 2 anni. Loperazione A origina unentrata di cassa immediata di e due uscite, rispettivamente di 60 dopo 1 anno e di 72 dopo 2 anni, mentre loperazione B origina unentrata di cassa immediata di e due uscite, rispettivamente di dopo 1 anno e di dopo 2 anni.

Risolvere i seguenti problemi relativi agli indicatori legali di redditivit e onerosit degli investimenti e dei nanziamenti: 16 Un nanziamento di viene rimborsato dopo 1 anno pagando la somma di Determinare il T AE delloperazione. Determinare il T AEG delloperazione nellipotesi che vi siano spese accessorie pari a 50 , pagate al momento del rimborso. Determinare il T AEG delloperazione nellipotesi che vi siano spese accessorie pari a , sostenute immediatamente.

Determinare il T AEG delloperazione nellipotesi che vi siano spese di istruzione della pratica pari a 20 , portate in riduzione dellammontare nanziato. Determinare T AE e T AEG delloperazione nellipotesi che le spese di istruzione della pratica, pari a , siano portate in riduzione dellammontare nanziato. Determinare T AE e T AEG delloperazione nellipotesi che le spese di istruzione della pratica, pari a 80 , siano pagate in contanti al momento della stipula del contratto.

In questo Capitolo vengono esaminate alcune applicazioni dei concetti introdotti in precedenza. Un primo argomento di interesse, a questo proposito, costituito dallammortamento di un prestito. Il problema dellammortamento sorge quando un soggetto riceve al tempo 0 una determinata somma S e si impegna a pagare in futuro, alle scadenze 1, 2, Costruire il piano di ammortamento per unoperazione di questo tipo signica scomporre le rate in quote di capitale e quote di interessi e descrivere landamento temporale delloperazione nanziaria in esame.

In particolare, si ipotizza nellanalisi condotta nel seguito che gli interessi vengano calcolati in base ad una legge esponenziale con tasso annuo di interesse i. Il piano di ammortamento pu essere costruito secondo due diverse impostazioni: impostazione elementare: in questo caso si specicano inizialmente i versamenti a titolo di capitale, cio il prolo delle quote di capitale dato un caso particolare quello di ammortamento con quote di capitale costanti, detto anche ammortamento allitaliana ; impostazione nanziaria: in questo caso si specicano inizialmente i versamenti complessivi le rate di ammortamento , cio il prolo delle rate dato un caso particolare quello di ammortamento con rate costanti, detto anche ammortamento alla francese.

Queste tre condizioni di chiusura risultano equivalenti solo utilizzando una legge nanziaria di tipo esponenziale cio una legge di capitalizzazione composta , che il caso preso in esame, mentre nel caso di una legge non esponenziale viene meno lequivalenza tra di esse. In particolare, poi, la condizione i rappresenta il punto di partenza per la costruzione del piano di ammortamento nel caso di ammortamento con quote di capitale costanti perch viene utilizzata per determinare lammontare della singola quota di capitale , mentre la condizione ii rappresenta il punto di partenza per la costruzione del piano di ammortamento nel caso di ammortamento con rate costanti perch viene utilizzata per determinare lammontare della singola rata.

Nella costruzione di un piano di ammortamento, inne, le grandezze prima elencate vengono disposte in un prospetto costruito nel modo seguente: t 0 1 Si deve inoltre tenere presente che nella costruzione di un piano di ammortamento secondo limpostazione elementare in cui cio si parte dalle quote di capitale le diverse grandezze vengono inserite nel prospetto secondo il seguente ordine: 1. Si determina la quota di capitale C1.

Si determina la quota di interessi I1. Si determina la rata R1. Si determinano il debito estinto E1 e il debito residuo D1.

Si segue lo stesso ordine per i periodi successivi al primo. Nella costruzione di un piano di ammortamento secondo limpostazione nanziaria in cui cio si parte dalle rate , invece, le diverse grandezze vengono inserite nel prospetto secondo il seguente ordine: 1. In ogni caso, in corrispondenza dellultimo periodo di ammortamento il debito estinto deve essere uguale allammontare del debito iniziale S e il debito residuo deve essere uguale a 0, per cui lammortamento risulta chiuso.